Politična povolilna aritmetika

Še dva kriptaritma. Za podroben način reševanja poglejte denarno štorijo, na kratko pa: vsaka črka predstavlja svojo števko.

Nalogi:
JANŠA + JANŠA + JANŠA + JANŠA + JANŠA = VLADA
in
PAHOR + PAHOR + PAHOR + PAHOR + PAHOR = VLADA

Politične implikacije in komplikacije bomo spustili, omenimo le, da sta rešitvi (matematično) podobni.

Nasvet: številčna vrednost Pahorjeve vlade je nekoliko večja od Janševe (spet brez nematematičnih misli).

Po drugi strani pa za poskus
JANŠA + PAHOR = VLADA
ne bosti našli rešitve - vsaj v desetiškem številskem sestavu, ki je v navadi to okrog, ne. Če pa zajadrate na planet, kjer uporabljajo dvanajstiški sestav pa je rešitev povsem možna.

Vabljeni ste, da rešitve zapišete v komentarju.

Kripta z ritmom ali kako priti do več denarja

Kriptaritem je uganka, kjer je potrebno vsako črko zamenjati s svojo števko (prva števka števil ne sme biti nič), tako da se nakazani račun izide, rešitev mora biti ena sama.

Enega (naj)bolj znanih primerov je zastavil ugankar Henry Dudeney:

SEND + MORE = MONEY (POŠLJI+VEČ=DENARJA)

Anglež Dudeney in Američan Samuel Loyd sta bila rekreativna matematika (matematika kot rekreacija? ja, gre, samo ljudem ne smeš omeniti, da gre pravzaprav za matematiko!) najbolj znana zastavljavca ugank na koncu 19. in začetku 20. stoletja. Loyd tudi z obsežnim naborom izvirnih šahovskih problemov in igro 15, Dudeney pa predvsem z matematično-logičnimi orehi. Oba sta izdala več knjig ugank, objavljala pa sta jih tudi v časopisju.

Leta 1924 je torej Strand Magazine objavil Dudeneyjevo uganko. Zapišimo jo pokonci:

_SEND
+MORE
-----
MONEY

Predno jo korakoma rešimo, obnovimo osnovnošolsko seštevanje, npr.:

__3 9 5 4
+ 7 2 8 6
---------
1 1 2 4 0

Ako bi naredil obratno in vsako števko zamenjal s črko, bi tako dobil kriptaritem?

_ABCD
+EFGH
-----
JJFDK

Ja, to sicer je kriptaritem vendar z lepotno napako; ne le z eno, z enaintridesetimi! Naloga ima namreč dvaintrideset različnih rešitev. Najbolj zanimive pa so naloge z unikatno rešitvijo.

Poskus

_ABCD
+EFGH
-----
JKLAB

se izjalovi, saj nastopa 11 črk, števk pa je le 10.

Naloga pa je še bolj atraktivna, če imajo besede, ki jih sestavljajo črke kak pomen, kot v Dudeneyjevem primeru.

Pa jo rešimo končno. Zapišimo nekoliko pregledneje in dodajmo vrstico s prenosi, ki nastopajo pri seštevanju. Pri dveh seštevancih je prenos lahko samo 0 ali 1.

_____S__E__N__D
+____M__O__R__E
_p1 p2 p3 p4
---------------
__M__O__N__E__Y

V nalogi nastopa 8 črk, SENDMORY, torej je načeloma rešljiva. Še tipografsko opozorilo: črka O načeloma ne pomeni števke 0.

Pri seštevanju dveh štirimestnih števil smo dobili petmestno število, to je možno le če je prenos P1 = 1, torej je tudi M = 1.

Ker pa smo pri vsoti S+M+P2 imeli prenos povedano drugače S+M+P2>=10), mora biti S = 8 ali S = 9; če je S = 7 ali manj, imamo kvečjemu 7+1+1 in ni prenosa v naslednji stolpec. S je 8 ali 9, torej je vsota S + M enaka 9 ali 10 in posledično je (črka) O enaka 0 (nič) ali 1. Ker je že M = 1, mora biti O = 0.

Če bi bil p2=1, bi moral biti E = 9 in zato N = 0. Ker je že O = 0, ni prenosa (p2=0), zato je S = 9.

Prenos p2 ne more biti 0, ker bi sicer veljalo E = N, kar je v nasprotju s pravili. Torej je prenos p2 = 0 in N = E + 1.

Če ne bi bilo prenosa v zadnji koloni (p4 = 0), potem bi veljalo N + R = E mod 10, skupaj z N = E + 1 dobimo E + 1 + R = E mod 10, torej R = 9. Ker je že S = 9, imamo prenos (p4 = 1)

N + R + 1 = E mod 10; če upoštevamo še N = E + 1 dobimo
(E + 1) + R + 1 = E mod 10 in R + 2 = 0 mod 10 ter iz tega R = 8.

Ker je prenos p4=1 velja D + E = 10 + Y. Ker Y nie more biti 0 ali 1 je D + E najmanj 12. Ker je hkrati D največ 7 (8 in 9 sta porabljeni), je E najmanj 5. Tudi N je največ 7 in ker je N = E + 1 je E enak 5 ali 6.

Če bi bilo E = 6 mora biti D = 7 če želimo, da je D + E najmanj 12. Ker pa velja N = E + 1, bi bil tudi N = 7, kar je protislovje. Torej je E = 5 in N = 6.

Če je D + E najmanj 12 mora biti D = 7 in Y = 2.

Rešitev:

__9 5 6 7
+ 1 0 8 5
1 0 1 1
---------------
1 0 6 5 2

test

test